A Matemática do Origami

Dobraduras de papel inspiram pesquisadores a buscar fórmulas originais para resolver problemas da tecnologia.

Carmen Kawano

O papel aceita tudo. Isso vale também no contexto do estudo da matemática do origami? O ditado, aplicado ao ato de escrever, parece ser verdade também quando o computador nos dá os passos de dobradura para chegarmos a uma determinada figura com um pedaço de papel.

Praticado por séculos como atividade lúdica e artística, só recentemente o origami passou a ser atração acadêmica como objeto de estudos científicos. "Os pesquisadores foram atraídos provavelmente porque o origami instigou seus talentos matemáticos e científicos", afirma o matemático Thomas Hull, do Merrimack College, de North Andover, nos Estados Unidos, e editor do "Imagiro", publicação bimensal sobre origami que tem entre seus autores os mais renomados estudiosos no assunto.

"Tudo começou como um hobby para alguns pesquisadores", continua Hull. Ele conta que começou a praticar origami aos oito anos de idade. Na pós-graduação, percebeu que poderia estudar a matemática dessa arte e encontrou vários trabalhos sobre o assunto.

De hobby, o origami passou então a ser objeto de estudos matemáticos dos acadêmicos. Eles perceberam que a dobradura poderia ser usada para descrever movimentos e processos na natureza e na ciência, como o batimento das asas de um pássaro ou a deformação da capota de metal de automóveis em colisões. Os estudiosos passaram, então, a desenvolver teoremas para descrever os padrões matemáticos que viam nas dobraduras.

Na matemática, o origami pode ser tratado pela topologia e pela geometria combinatória. Diferentemente da geometria, na topologia as figuras podem ser esticadas ou deformadas de seu estado original sem passarem a ser consideradas objetos diferentes, desde que não se faça nenhum buraco ou qualquer remendo nelas.

Os especialistas em origami trabalham na construção de algoritmos, que são seqüências de passos definidos na solução de um problema, como, por exemplo, o algoritmo da divisão. Para desenvolver esse trabalho, eles recorrem à geometria combinatória, que permite obter fórmulas computacionais para a construção, por meio de dobraduras, das formas complexas e sofisticadas de origami. Com essas técnicas, eles procuram também obter a melhor seqüência de dobradura e o aproveitamento máximo da folha de papel para uma determinada figura que pretendam construir. Ao que tudo indica, qualquer procedimento que o computador fornecer pode ser feito no papel manualmente.

O desafio está em fazer o caminho inverso matematicamente. A partir de um origami aberto, com as marcas das dobras, os matemáticos recaem em complicados problemas com polinômios para descobrir, sem dobrar, em que figura um certo padrão de dobradura resultará.

Desse modo, o origami tornou-se nas últimas duas décadas inspiração para a busca de soluções de sofisticados problemas matemáticos e tecnológicos. Os especialistas obtiveram bons resultados e esperam aplicar seus estudos, por exemplo, a projetos de painéis solares, microcircuitos e até telescópios, que, se pudessem ser dobrados, poderiam ser usados em dispositivos menores que os existentes hoje.

Para alguns, o ato de dobrar papel para obter formas conhecidas pode perder seu charme criativo e artístico. Mas os amantes do origami tradicional não precisam recorrer aos passos matemáticos de dobradura para dar a forma que querem a um simples pedaço de papel.

Os teoremos dos ângulos e das duas cores

Um princípio importante na matemática do origami é o Teorema de Kawasaki, segundo o qual a soma dos ângulos alternados formados por dobraduras em volta de um único vértice em um origami desdobrado será sempre 180º. Isso vale para cada vértice do papel desdobrado de uma figura plana, e não necessariamente de formas não achatadas. Veja abaixo o origami da cegonha:

₁ + a₃ + a₅ + ... + a_2n-1 = 180º e a₂ + a₄ + a₆ + ... + a_2n = 180º

Pode-se ver que sempre teremos um número par de ângulos, para cada vértice. Outra propriedade matemática importante no origami é nos padrões de dobradura de figuras planas, pode-se colorir o papel inteiro desdobrado somente com duas cores, sem que se repita a mesma cor lado a lado, como se abaixo:

Professores Usam o Origami, como técnica de aprendizagem para os alunos em sala de aula.

E um Vídeo Interessante, pois mostra como o origami ajudano ensino na sala de aula, como por exemplo nas aulas de Geometria, os alunos ja se cansaram daquela velha maneira tradicional de desenhar, ou simplesmente copiar no quadro, então assim buscam modos novos que ajudem eles mesmos a aprenderem, fazendo com que eles se interessem e fiquem mas motivados na aula, e um modo novo de se aprender Geometria.


Aqui vai umas dicas gerais para um bom Origami.

Antes de começar a dobrar os papéis leia algumas dicas que facilitarão o seu trabalho:

• Faça as dobras em uma superfície lisa, plana, sólida e bem iluminada;
• Utilize papel fino se for iniciante nessa arte ou se for fazer um modelo com muitas dobras;
• Evite usar papéis caros no começo se ainda for iniciante;
• Mantenha as mãos limpas para não sujar o seu origami;
• Antes de começar a dobrar, veja se conhece todos os símbolos das instruções, se não conhecer algum, aprenda antes;
• Siga corretamente as medidas sempre que elas existirem;
• Acentue os vincos das dobras passando a unha sobre elas;
• Siga o passo-a-passo à risca;
• Não tenha pressa para terminar, a paciência é muito importante para fazer um origami, principalmente se essa for a sua primeira vez;
• Caso se perca na ordem das instruções, não se desespere! Compare o que fez com a figura do diagrama ou do vídeo, se necessário, recomece;
• Pratique várias vezes o mesmo modelo. Não se esqueça de que a prática é o que leva à perfeição;
• Você pode usar aqueles inúmeros papéis que recebe na rua para praticar;
• Se estiver cansado ou não conseguir seguir o passo-a-passo, faça uma pausa, não tente fazer por teimosia.

O origami é para ser divertido!

• Na falta de papéis coloridos pinte o seu (pode ser folha sulfite) com giz de cera deitado, que além de colorir grandes áreas do papel ele também impermeabiliza o trabalho, conservando o origami por mais tempo.

Boas dobras!